무한을 넘어서 (1) : 유지니아 쳉

 

1. 논리실증주의와 분석철학

 

논리실증주의는 과학의 분석 방법을 철학에 적용하고자 하는 사상이다.

특정한 인생관이나 세계관을 토대로 하여 고정된 이데올로기를 내세우는 학파가 아니라

명제가 "유의미"할 수 있는 조건은 제시했는데, 

(1) 경험적, 실증적인 내용을 담고 있어야 하고 

(2) 논리적이어야 한다는 것이다.

 

 

이런 사상을 어느정도 인정받아, 철학으로 인정 받은 것이 분석철학이다

분석철학은 철학 연구에서 언어 분석의 방법이나 기호 논리의 활용이 불가결하다고 믿는 이들의 철학을 총칭한 것이다. 

논리적, 언어적 방법이 무엇인가에 초점에 맞추어진 경향이 있다.

실존주의나 막시즘과 같은 대륙 철학과는 대조적이기에 영미철학으로 불리기도 한다

 

 

 

당연히 분석철학은 현대 과학의 성과를 중시한다.

이런 사상을 기반으로 프로그래밍 언어에 대한 연구가 시작되었으며

현재는 인공지능으로 대표되는 '인지과학'에까지 범위를 확장하고 있으므로

우리 삶에 실재적인 영향을 미치고 있는 학문이라고 할 수 있다.

 

 

 

2. 모순없는 수학 체계를 가로막는 무한의 벽

 

본격적인 이해를 위해, 분석철학의 본격적인 태동기라고 할 수 있는 

20세기수학사에 관심을 가져볼 필요가 있다.

 

 

19세기 미적분학과 해석학의 발전으로,

수학자들은 모순이 없는 수학 체계에 대한 기대감을 갖고 있었다.

그러나 일이 순탄치만은 않았던 것이

19 세기 해석학의 발전으로, 기존의 직관과 상식에서 벗어난 문제들을 다뤄야만 했던 것이다.

대표적으로 '무한'이라는 개념을 어떻게 분석할 것인가가 있다.

 

 

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∞

• 수렴과 극한: 1 에 무한히 접근한다.
• 발산: 무한히 커진다, 혹은 진동한다

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누구나 아는 이 정리가 왜 문제시 되었던 것일까?

 

 

 

 

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나는 지금 거짓말을 하고 있다

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'나'는 위 문장이 거짓이라고 주장하고 있다.

거짓이라는 주장이 거짓이니 위 문장은 참이 된다.

거짓이라는 주장을 한 문장이 참이기에, 위 문장은 다시 거짓이 된다.

이런식으로 한 문장의 진리값은 무한한 논리연산을 하게된다.

참, 거짓을 알 수 없는 상태이기 때문에

모순이 발생한 것이다.

 

 

 

 

3. 자기언급의 역설 (러셀의 역설)

 

 

 

러셀은 자신을 원소로 포함하는 집합이기 때문에 이런 종류의 모순이 발생한다고 주장했다.

즉, "명제에 자기 자신을 언급하는 것"이 역설의 원인이다

 

 

 

 

따라서 문제의 해결책은 어찌보면 간단하다

수학체계 안에 이런 명제들을 포함시키지 않으면 된다.

집합론을 연구하는 수학자들이 "집합은 자기 자신을 원소로 갖을 수 없다"라는 규칙을 지키도록

수학 명제들의 집합을 고안하는데,

이에 공헌한 체르멜로(Zermelo)와 프렝켈(Frenkel) 그리고 훗날 추가된 선택공리(Axiom of Choice)의 이니셜을 따

ZFC공리계라고 한다.

이는 현대 수학의 표준적인 수학기초론으로 사용된다

 

 

 

 

4. 우리는 알아야만 한다. 우리는 알게 될 것이다 

 

 

허나 이러한 해결은 완벽한 해결이라고 볼 수 없는 것이,

관점에 따라서는 불편한 명제들을 예외 처리한 것에 불과하다고 생각할 수 있기 때문이다.

 

 

 

비슷한 생각을 한 독일의 수학자 다비트 힐베르트는

문제가 되는 무한 개념들을 포함하는 무모순성과 완전성을 충족시키는 수학 체계를 만들고자 노력했는데

바로 힐베르트 프로그램 이다

다시는 모순이 나타나지 않도록 수학 전체를 확고한 기반 위에 세워야 한다것이 그 목적이었다.

 

 

이런 시도는 논리 실증주의 대표격인 비엔나 서클 회원들에게 많은 영향을 끼쳤는데

난해한 언어로 되어 있던 철학을 현대적 논리학의 도움으로 과학적으로 만드는 목표에 잘 부합했기 때문이다.

훗날 이 모임의 일원이었던 괴델에 인해 그의 꿈은 산산조각이 나게 되는데...

 

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https://jinseob2kim.github.io/LectureGodel/#18 

https://ko.wikipedia.org/wiki/힐베르트_프로그램 

https://ko.wikipedia.org/wiki/빈_학파 

https://ko.wikipedia.org/wiki/논리실증주의

https://namu.wiki/w/분석철학

 

 

 

 

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